AWS Cognito和API网关使用Lambda授权者的解决方法包括以下步骤和代码示例：

1. 创建一个AWS Lambda函数来验证Cognito用户的授权。

exports.handler = async (event) => {
  // 从API网关的请求事件中获取Cognito用户池ID和客户端ID
  const userPoolId = event.requestContext.authorizer.claims.iss.split('/').slice(-1)[0];
  const clientId = event.requestContext.authorizer.claims.aud;
  
  // 检查请求事件的Cognito用户令牌是否有效
  const isValidToken = await validateCognitoToken(event.headers.Authorization, userPoolId, clientId);
  
  if (isValidToken) {
    // 授权成功，返回原始事件
    return event;
  } else {
    // 授权失败，返回未授权错误
    throw new Error('Unauthorized');
  }
};

// 验证Cognito用户令牌的函数
const validateCognitoToken = async (token, userPoolId, clientId) => {
  // 使用AWS SDK调用Cognito的ID令牌验证接口
  const cognito = new AWS.CognitoIdentityServiceProvider();
  
  const params = {
    AccessToken: token,
    UserPoolId: userPoolId
  };
  
  try {
    // 验证用户令牌
    const response = await cognito.getUser(params).promise();
    
    // 检查返回的客户端ID是否匹配
    if (response.UserClientMetadata.client_id === clientId) {
      return true;
    } else {
      return false;
    }
  } catch (err) {
    console.log(err);
    return false;
  }
};

2. 创建一个API网关，并在“授权者”中选择“AWS Cognito用户池”。配置Cognito用户池的详细信息，包括用户池ID和客户端ID。

3. 在API网关的资源或方法中，选择“授权”并选择刚创建的授权者。

4. 使用API网关的URL调用API，并在请求头中包含Cognito用户令牌。如果令牌有效，则API网关会将请求转发给Lambda函数。

请注意，以上代码示例中的AWS SDK和其他依赖项需要在Lambda函数的环境中正确配置。