保存切换按钮的状态的解决方法可以通过以下代码示例实现：

1. 使用HTML的input元素的checkbox类型来创建切换按钮。

2. 使用JavaScript来保存切换按钮的状态。

// 获取切换按钮元素
var toggleButton = document.getElementById("toggleButton");

// 判断localStorage中保存的状态，如果有则应用该状态
if(localStorage.getItem("toggleState") === "on") {
  toggleButton.checked = true;
}

// 监听切换按钮的状态变化
toggleButton.addEventListener("change", function() {
  // 保存状态到localStorage
  if(toggleButton.checked) {
    localStorage.setItem("toggleState", "on");
  } else {
    localStorage.setItem("toggleState", "off");
  }
});

上述代码使用了localStorage对象来保存切换按钮的状态。在页面加载时，会检查localStorage中是否保存了状态，如果有则应用该状态，如果没有则默认为切换按钮关闭状态。

在切换按钮状态变化时，会将状态保存到localStorage中。在刷新页面或重新打开页面时，会根据localStorage中保存的状态来设置切换按钮的状态。

注意：上述代码使用了localStorage来保存状态，localStorage是HTML5的特性，如果需要兼容较旧的浏览器，可以考虑使用其他方式保存状态，例如使用cookie。