数字信号处理-3-函数的正交
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2024-04-11 03:23:15
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如果函数成正交关系，那么它们的积的定积分为 0。反过来说就是，如果两个函数相乘的定积分值为 0，那么称这两个函数正交。sinx 与 cosx 正交，sinnx 与 sinmx 正交（m与n不相等），cosnx 与 cosmx 正交（m与n不相等），sinmx 与 cosmx正交。
1 函数正交定义
如果函数成正交关系，那么它们的积的定积分为 0。反过来说就是，如果两个函数相乘的定积分值为 0，那么称这两个函数正交。
2 正交函数证明
2.1 图形化证明
下图最上面为 y = sinx * cosx =1/2 * sinx (积和公式)的图形，中间为 cosx 的图形，最下面是 sinx 的图形
相乘后波峰的定积分是正数，而在波谷，函数的值是负数，面积与波峰相等，但定积分的值是负数。所以，两者相乘定积分的结果为 0 ，故 sinx 与 cosx 函数正交。
2.2 数学计算证明
sinx 与 cosx 定积分
sinx 与 sin2x 定积分
可以推广到 sinnx 与 sinmx，当 n 与 m 不相等时，sinnx 与 sinmx 正交。
同理 cosnx 与 cosmx，当 n 与 m 不相等时，cosnx 与 cosmx 正交。
而且 sinmx 与 cosmx，不论 m 为何值，它们之间总是成正交关系。
3 y=sin2x 与 y=cos2x 的定积分
结果为 π。因为 cosx 是 sinx 滞后 π/2 的函数，所以 cos2x 的定积分也是 π
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