当表单提交成功或失败后，您的API可以返回适当的响应给WordPress或jQuery。以下是一个解决方案示例：

1. 表单提交成功时，您的API可以返回一个成功的响应，例如HTTP状态码为200，并在响应体中包含成功的消息或数据。

// 在PHP中的示例代码
$response = array(
    'status' => 'success',
    'message' => 'Form submitted successfully.'
);

header('Content-Type: application/json');
echo json_encode($response);

// 在jQuery中的示例代码
$.ajax({
    url: 'your-api-url',
    method: 'POST',
    data: formData,
    success: function(response) {
        if (response.status === 'success') {
            // 提交成功的处理逻辑
            console.log(response.message);
        }
    }
});

2. 表单提交失败时，您的API可以返回一个错误的响应，例如HTTP状态码为400或其他适当的错误码，并在响应体中包含错误的消息或数据。

// 在PHP中的示例代码
$response = array(
    'status' => 'error',
    'message' => 'Form submission failed.'
);

header('Content-Type: application/json');
echo json_encode($response);

// 在jQuery中的示例代码
$.ajax({
    url: 'your-api-url',
    method: 'POST',
    data: formData,
    error: function(xhr, status, error) {
        // 提交失败的处理逻辑
        console.log(error);
    }
});

请根据您的具体需求调整代码示例中的URL、数据和其他参数。