数学基础从高一开始6、全称量词与存在量词

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数学基础从高一开始6、全称量词与存在量词

全称量词

存在量词

1.判断命题的真假

2.判断命题的真假

阅读下列两组命题，语言上有什么特点?

A组：

(1)对任意一个x∈Z，2x+1是整数;

(2)每一个素数都是奇数;

(3)所有的矩形都是平行四边形。(事物的全部) 

B组：

(1)有些三角形是等腰三角形;

(2)至少有一个四边形，它的对角线互相垂直;

(3)存在一个x∈R，使得>0.。(事物的一部分)

全称量词

“任意一个” ，“每一个”，“所有的”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。

A组命题改用集合语言叙述为:

(1)对于整数集合中的任意一个元素x，2.x+1是整数。

(2)素数集合中的任意一个元素x都是奇数。

(3)矩形集合中的任意一个元素x都是平行四边形。

结构特点:集合M中的任意一个元素x，都满足条件p。

一般形式:对M中任意一个x，都有p(x)成立。

用符号简记为: x∈M, p(x)。

存在量词

“有些”、“至少有一个”、存在一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。

结构特点:集合M中至少存在一个元素x，满足条件p。

一般形式:存在M中的元素x，使得p(x)成立。

用符号简记为:x∈M, p(x)。

1.判断命题的真假

例1：判断下列全称量词命题的真假:

(1)x∈R，|x|+1≥l; 

(2)对任意一个无理数x，也是无理数。 

分析：

要判定全称量词命题“x∈M，p(x)” 为真，就需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立; 要判定它为假，举一个反例即可:在集合M中找一个x0，使得p(x0)不成立。

解

(1)、x∈R，总有|x|≥0，因此|x+1≥1.所以该命题是真命题。
(2)、是无理数，但是有理数。所以该命题是假命题。

2.判断命题的真假

例2：判断下列存在量词命题的真假:

(1)有一个偶数是素数;

(2)存在一个三角形，它的内角和不等于。

分析要判定存在量词命题“x∈M, p(x)”为真，只需在M中找到一个元素x0，使得p(x0)成 立即可;
要判定它为假，就需要证明M中不存在使p(x)成立的元素，即对M中任意一个元素x，p(x)都不成立。

解

(1)因为偶数2是素数，所以该命题是真命题。

(2)因为任意一个三角形的内角和都等于，所以内角和不等于的三角形不存在，所以该命题是假命题。