在不使用await的情况下，可以使用Promise对象和.then()方法来实现异步任务的处理。下面是一个示例代码：

function asyncTask() {
  return new Promise(resolve => {
    setTimeout(() => {
      resolve('Async task completed');
    }, 2000);
  });
}

console.log('Start');

asyncTask().then(result => {
  console.log(result);
  console.log('End');
});

console.log('Next task');

在上面的代码中，asyncTask函数返回一个Promise对象，该对象在异步任务完成后会调用resolve函数。然后，使用.then()方法来处理异步任务的结果。在.then()方法中，可以通过回调函数来获取异步任务的结果，并进行相应的处理。

这样，当执行到asyncTask().then()时，会先输出Start，然后开始执行异步任务。异步任务完成后，会调用.then()方法中的回调函数，输出异步任务的结果和End。最后，输出Next task。

需要注意的是，使用.then()方法处理异步任务时，回调函数的执行是异步的。也就是说，回调函数不会阻塞后续代码的执行。如果需要按照顺序执行多个异步任务，可以使用多个.then()方法链式调用，或者使用Promise.all()方法来等待多个异步任务完成。