要解决Angular PWA服务工作线程在离线模式下无法从缓存中获取API响应的问题，您可以使用Angular Service Worker的缓存策略来处理。

首先，确保您的Angular项目已经启用了Service Worker。如果尚未启用，请运行以下命令来生成Service Worker文件：

ng add @angular/pwa

接下来，您可以在Angular Service Worker配置文件（ngsw-config.json）中定义缓存策略。在缓存配置部分，您可以指定需要缓存的URL模式以及用于缓存的策略。例如：

{
  "index": "/index.html",
  "assetGroups": [
    {
      "name": "app",
      "installMode": "prefetch",
      "resources": {
        "files": [
          "/favicon.ico",
          "/index.html"
        ],
        "urls": [
          "https://api.example.com/**"
        ]
      }
    }
  ],
  "dataGroups": [
    {
      "name": "api",
      "urls": [
        "https://api.example.com/**"
      ],
      "cacheConfig": {
        "strategy": "freshness",
        "maxSize": 100,
        "maxAge": "3d",
        "timeout": "10s"
      }
    }
  ]
}

在上述示例中，我们定义了一个名为“api”的数据组，它会缓存以“https://api.example.com/”开头的URL。缓存策略被设置为“freshness”，这意味着在离线模式下，服务工作线程将首先尝试从缓存中获取响应，如果缓存中没有最新的响应，则会从网络请求。

再次部署您的应用程序之后，Angular PWA服务工作线程将根据配置文件中定义的缓存策略来处理离线模式下的API响应。