不同组中具有特定数量的物品的背包问题
创始人
2025-01-10 02:02:04
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该问题可以使用动态规划算法来解决。假设有k个不同的物品组,每个组中有n1、n2、...、nk个物品可供选择。要求选择m1、m2、...、mk个物品使得它们的总价值最大,而且每个组中选出的物品数量必须满足:1 <= mi <= ni。

具体实现可以按照以下步骤进行:

  1. 初始化一个二维数组dp[k+1][M+1],其中dp[i][j]表示前i组物品,选取总数为j时的最大价值。

  2. 对于第一组物品,进行01背包问题的动态规划,求出所有容量下的最大价值,将其保存在dp[1][]中。

  3. 对于第2至第k组物品,循环遍历每一组,在第i组中,计算出选择0个、1个、...、ni个物品时的最大价值,更新dp[i+1][]。这里需要注意,第i+1组中的物品不能超过mi个。

  4. 最后,dp[k+1][M]即为所求的最大价值。

下面是Python代码示例(其中,w[i][j]表示第i组的第j个物品的重量,v[i][j]表示第i组的第j个物品的价值,m[i]表示第i组选取的最大数量):

def dynamic_programming(w, v, m, M): k = len(w) dp = [[0] * (M + 1) for _ in range(k + 1)] # 初始化 for j in range(M + 1): if j <= m[0]: dp[1][j] = sum(v[0][:j]) else: dp[1][j] = dp[1][j - 1] #

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