不同组中选择特定数量物品的背包问题
创始人
2025-01-10 02:01:57
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背景介绍：
本问题要求从已知的 $n$ 个物品中，选择特定数量的物品，使得这些物品满足一定的限制条件（如某些物品可以同时选择与否、每个物品都有相应的价值和重量等），并且背包的容量不会超出规定的限制。具体地，每个物品 $i$ 都有 $w_i$ 的重量和 $v_i$ 的价值，背包的容量为 $W$，需要选择 $m$ 个物品，每种物品最多选择一个。
解决思路：
我们可以以物品的种类为组，以每种物品可以选或不选为元素，构建状态空间。对于第 $i$ 种物品，可以将其分为两类：选或不选。如果不选第 $i$ 种物品，那么问题就转化为在前 $i-1$ 种物品中选择 $m$ 个的背包问题；如果选第 $i$ 种物品，问题就变为在前 $i-1$ 种物品中选择 $m-1$ 个，加上第 $i$ 种物品的价值和重量。于是就得到了转移方程：
$$ f_{i,j} = \max(f_{i-1,j}, f_{i-1,j-1}+v_i) $$
其中，$f_{i,j}$ 表示在前 $i$ 种物品中选择 $j$ 个的最大价值。
代码示例：
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