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开关灯

题目描述

假设有 NNN 盏灯（NNN 为不大于 500050005000 的正整数），从 111 到 NNN 按顺序依次编号，初始时全部处于开启状态；第一个人（111 号）将灯全部关闭，第二个人（222 号）将编号为 222 的倍数的灯打开，第三个人（333 号）将编号为 333 的倍数的灯做相反处理（即，将打开的灯关闭，将关闭的灯打开）。依照编号递增顺序，以后的人都和 333 号一样，将凡是自己编号倍数的灯做相反处理。问当第 NNN 个人操作完之后，有哪些灯是关闭着的？

输入格式

输入为一行，一个整数 NNN，为灯的数量。

输出格式

输出为一行，按顺序输出关着的灯的编号。编号与编号之间间隔一个空格。

样例 #1

样例输入 #1

10

样例输出 #1

1 4 9

样例 #2

样例输入 #2

5

样例输出 #2

1 4

思路：
一开始所有灯都是亮的，如果要最后是关着的话，那么这个灯在整个过程中应该被开关奇数次，所以满足最后是关闭状态的灯，它的因子应该是奇数个，又因为完全平方数的因子是奇数个（这是一个定理，已经确定的），那么我们只需要找从1到n中有哪些数是完全平方数，那么最后这些灯就是关闭状态的。

为什么完全平方数的因子个数是奇数个

因为对于一个数x来说，存在因数m，必然存在另一个因数x/m，两个一对，而完全平方数的平方根对应的因数又是本身自己，所以一共有奇数个因子。

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in=new Scanner(System.in);int n=in.nextInt();for(int i=1;i<=n;++i){if(i*i<=n)System.out.print(i*i+" ");}}
}