并查集：可以近乎O(1)的时间复杂度执行下面的两个操作

1.将两个集合合并

2.询问两个元素是否在一个集合中

基本原理：每一个集合用一棵树来表示。树根的编号就是整个集合的编号。每个节点存储它的父节点，p[x]表示x的父节点。

问题一：如何判断树根：if ( p[x] == x)

问题二： 如何求x的集合编号： while(p[x] != x) x = p[x];

        注：这一步的时间复杂度还是比较大的，所以需要路径压缩、

                路径压缩：找一次根节点时，把路径的节点都指向根节点。路径压缩后时间复杂度近似O(1).

问题三：如何如何合并两个集合：px是x的集合编号，py是y的集合编号。p[x] = y

例题及代码模板 ：

合并集合

一共有n个数，编号是1~n，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行m个操作，操作共有两种：

“M a b”，将编号为a和b的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
“Q a b”，询问编号为a和b的两个数是否在同一个集合中；
输入格式
第一行输入整数n和m。

接下来m行，每行包含一个操作指令，指令为“M a b”或“Q a b”中的一种。

输出格式
对于每个询问指令”Q a b”，都要输出一个结果，如果a和b在同一集合内，则输出“Yes”，否则输出“No”。

每个结果占一行。

数据范围
1≤n,m≤10^5
输入样例：
4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4
输出样例：
Yes
No
Yes

#include 
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int p[N];
int find(int x){// 返回x的祖宗节点 + 路径压缩if (p[x] != x)p[x] = find(p[x]);return p[x];
}
int main(){scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i ++){p[i] = i;}while( m-- ){char op[2];int a, b;scanf("%s%d%d", &op, &a, &b);//使用%c读入字符会读入空格、回车符等字符，%s读入字符串会自动省略空格和回车符if (op[0] == 'M')//合并两个集合p[find(a)] = find(b);else{if(find(a) == find(b))puts("Yes");else{puts("No");}}}return 0;
}

并查集的变型题：

        维护一个变量：每个集合的数量（根据题目要求，维护的变量会不同）

例题及模板：

连通块中点的数量

题目描述
给定一个包含 n 个点（编号为 1~n ）的无向图，初始时图中没有边。 
现在要进行 m 个操作，操作共有三种： 

C a b，在点 a 和点 b 之间连一条边，a 和 b 可能相等；
Q1 a b，询问点 a 和点 b 是否在同一个连通块中，a 和 b 可能相等；
Q2 a，询问点 a 所在连通块中点的数量。
数据范围

1 <= n,m <= 1e^5 
 

输入
第一行输入一个整数 n 和 m。 
接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 C a b ，Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。 

输出
对于每个询问命令 Q1 a b，如果 a 和 b 在同一连通块中，则输出 Yes，否则输出 No。 
对于每个询问指令 Q2 a，输出一个整数表示点 a 所在连通块中点数量。 
每个结果占一行。 

样例输入
5 5
C 1 2
Q1 1 2
Q2 1
C 2 5
Q2 5
样例输出
Yes
2
 

#include 
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int p[N], size[N];//每个集合元素的个数，只有根节点的size是有意义的
int find(int x) { // 返回x的祖宗节点 + 路径压缩if (p[x] != x)p[x] = find(p[x]);return p[x];
}
int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i ++) {p[i] = i;size[i]=1;}while( m-- ) {char op[5];int a, b;scanf("%s", &op);//使用%c读入字符会读入空格、回车符等字符，%s读入字符串会自动省略空格和回车符if (op[0] == 'C')//合并两个集合{scanf("%d%d",&a, &b);if(find(a) == find(b))continue;size[find(b)]+=size[find(a)];p[find(a)] = find(b);}else if (op[1] == '1') {scanf("%d%d", &a, &b);if(find(a) == find(b))puts("Yes");else {puts("No");}}else{scanf("%d", &a);printf("%d", size[find(a)]);}}return 0;
}