并查集及代码模板
创始人
2025-05-30 11:34:01
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并查集:可以近乎O(1)的时间复杂度执行下面的两个操作

1.将两个集合合并

2.询问两个元素是否在一个集合中

基本原理:每一个集合用一棵树来表示。树根的编号就是整个集合的编号。每个节点存储它的父节点,p[x]表示x的父节点。

问题一:如何判断树根:if ( p[x] == x)

问题二: 如何求x的集合编号: while(p[x] != x) x = p[x];

        注:这一步的时间复杂度还是比较大的,所以需要路径压缩、

                路径压缩:找一次根节点时,把路径的节点都指向根节点。路径压缩后时间复杂度近似O(1).

问题三:如何如何合并两个集合:px是x的集合编号,py是y的集合编号。p[x] = y

例题及代码模板 :

合并集合

一共有n个数,编号是1~n,最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行m个操作,操作共有两种:

“M a b”,将编号为a和b的两个数所在的集合合并,如果两个数已经在同一个集合中,则忽略这个操作;
“Q a b”,询问编号为a和b的两个数是否在同一个集合中;
输入格式
第一行输入整数n和m。

接下来m行,每行包含一个操作指令,指令为“M a b”或“Q a b”中的一种。

输出格式
对于每个询问指令”Q a b”,都要输出一个结果,如果a和b在同一集合内,则输出“Yes”,否则输出“No”。

每个结果占一行。

数据范围
1≤n,m≤10^5
输入样例:
4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4
输出样例:
Yes
No
Yes

#include 
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int p[N];
int find(int x){// 返回x的祖宗节点 + 路径压缩if (p[x] != x)p[x] = find(p[x]);return p[x];
}
int main(){scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i ++){p[i] = i;}while( m-- ){char op[2];int a, b;scanf("%s%d%d", &op, &a, &b);//使用%c读入字符会读入空格、回车符等字符,%s读入字符串会自动省略空格和回车符if (op[0] == 'M')//合并两个集合p[find(a)] = find(b);else{if(find(a) == find(b))puts("Yes");else{puts("No");}}}return 0;
}

并查集的变型题:

        维护一个变量:每个集合的数量(根据题目要求,维护的变量会不同)

例题及模板:

连通块中点的数量

题目描述
给定一个包含 n 个点(编号为 1~n )的无向图,初始时图中没有边。 
现在要进行 m 个操作,操作共有三种: 

C a b,在点 a 和点 b 之间连一条边,a 和 b 可能相等;
Q1 a b,询问点 a 和点 b 是否在同一个连通块中,a 和 b 可能相等;
Q2 a,询问点 a 所在连通块中点的数量。
数据范围

1 <= n,m <= 1e^5 
 

输入
第一行输入一个整数 n 和 m。 
接下来 m 行,每行包含一个操作指令,指令为 C a b ,Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。 

输出
对于每个询问命令 Q1 a b,如果 a 和 b 在同一连通块中,则输出 Yes,否则输出 No。 
对于每个询问指令 Q2 a,输出一个整数表示点 a 所在连通块中点数量。 
每个结果占一行。 

样例输入
5 5
C 1 2
Q1 1 2
Q2 1
C 2 5
Q2 5
样例输出
Yes
2

 

#include 
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int p[N], size[N];//每个集合元素的个数,只有根节点的size是有意义的
int find(int x) { // 返回x的祖宗节点 + 路径压缩if (p[x] != x)p[x] = find(p[x]);return p[x];
}
int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i ++) {p[i] = i;size[i]=1;}while( m-- ) {char op[5];int a, b;scanf("%s", &op);//使用%c读入字符会读入空格、回车符等字符,%s读入字符串会自动省略空格和回车符if (op[0] == 'C')//合并两个集合{scanf("%d%d",&a, &b);if(find(a) == find(b))continue;size[find(b)]+=size[find(a)];p[find(a)] = find(b);}else if (op[1] == '1') {scanf("%d%d", &a, &b);if(find(a) == find(b))puts("Yes");else {puts("No");}}else{scanf("%d", &a);printf("%d", size[find(a)]);}}return 0;
}

 

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