在Android中，PhoneStateListener是一个用于监听电话状态变化的类，它可以在后台运行，并在电话状态发生变化时接收通知。

要在后台运行PhoneStateListener，你需要创建一个Service来启动监听器，并在Service中注册PhoneStateListener。

以下是一个简单的示例代码，演示如何在后台运行PhoneStateListener：

1. 创建一个名为PhoneStateListenerService的Service类：

public class PhoneStateListenerService extends Service {
    private PhoneStateListener mPhoneStateListener;
    private TelephonyManager mTelephonyManager;

    @Override
    public void onCreate() {
        super.onCreate();

        // 创建PhoneStateListener实例
        mPhoneStateListener = new PhoneStateListener() {
            @Override
            public void onCallStateChanged(int state, String incomingNumber) {
                // 处理电话状态变化的逻辑
                switch (state) {
                    case TelephonyManager.CALL_STATE_IDLE:
                        // 电话空闲状态
                        break;
                    case TelephonyManager.CALL_STATE_RINGING:
                        // 电话响铃状态
                        break;
                    case TelephonyManager.CALL_STATE_OFFHOOK:
                        // 电话接通状态
                        break;
                }
            }
        };

        // 获取TelephonyManager实例
        mTelephonyManager = (TelephonyManager) getSystemService(Context.TELEPHONY_SERVICE);

        // 注册PhoneStateListener
        mTelephonyManager.listen(mPhoneStateListener, PhoneStateListener.LISTEN_CALL_STATE);
    }

    @Override
    public void onDestroy() {
        super.onDestroy();
        
        // 取消注册PhoneStateListener
        mTelephonyManager.listen(mPhoneStateListener, PhoneStateListener.LISTEN_NONE);
    }

    @Nullable
    @Override
    public IBinder onBind(Intent intent) {
        return null;
    }
}

2. 在AndroidManifest.xml中注册Service：

3. 在需要后台运行PhoneStateListener的地方启动Service：

Intent intent = new Intent(context, PhoneStateListenerService.class);
context.startService(intent);

通过以上步骤，你就可以在后台运行PhoneStateListener，并在电话状态发生变化时接收通知了。记得在不需要监听电话状态时，取消注册PhoneStateListener以释放资源，可以在Service的onDestroy()方法中实现。