要实现API网关的自定义域名，并将空基本路径映射到阶段和静态HTML页面的空基本路径，可以采用以下步骤：

1. 在API网关中创建一个API，并将其绑定到一个阶段。确保在创建API时选择了正确的协议（例如HTTP或HTTPS）和域名。

2. 在API网关中创建一个自定义域名，并将其与刚创建的API关联。确保为自定义域名选择了正确的证书，以支持HTTPS。

3. 在API网关中创建一个资源，并将其与根路径（/）关联。这将充当空基本路径。

4. 在资源下创建一个方法，例如GET或ANY，并将其与Lambda函数或静态HTML页面关联。如果将其与Lambda函数关联，则需要确保Lambda函数已创建和部署。

5. 配置方法的集成请求，将其映射到Lambda函数或静态HTML页面。这可以通过使用Lambda代理集成或通过配置集成请求模板来完成。

以下是一个示例CloudFormation代码，用于创建API网关、自定义域名、资源和方法，并将它们关联起来：

AWSTemplateFormatVersion: '2010-09-09'
Resources:
  ApiGateway:
    Type: 'AWS::ApiGateway::RestApi'
    Properties:
      Name: MyApi
      Description: My API Gateway

  CustomDomainName:
    Type: 'AWS::ApiGateway::DomainName'
    Properties:
      DomainName: api.example.com
      CertificateArn: arn:aws:acm:us-east-1:123456789012:certificate/abcdefg

  ApiGatewayBasePathMapping:
    Type: 'AWS::ApiGateway::BasePathMapping'
    Properties:
      DomainName: !Ref CustomDomainName
      RestApiId: !Ref ApiGateway
      BasePath: ''

  ApiGatewayResource:
    Type: 'AWS::ApiGateway::Resource'
    Properties:
      RestApiId: !Ref ApiGateway
      ParentId: !GetAtt ApiGateway.RootResourceId
      PathPart: ''

  ApiGatewayMethod:
    Type: 'AWS::ApiGateway::Method'
    Properties:
      RestApiId: !Ref ApiGateway
      ResourceId: !Ref ApiGatewayResource
      HttpMethod: ANY
      AuthorizationType: NONE
      Integration:
        Type: AWS_PROXY
        IntegrationHttpMethod: POST
        Uri: arn:aws:apigateway:us-east-1:lambda:path/2015-03-31/functions/arn:aws:lambda:us-east-1:123456789012:function:my-lambda/invocations

Outputs:
  ApiGatewayUrl:
    Value: !Sub 'https://${CustomDomainName.DomainName}/'

请注意，这只是一个示例，并且需要根据您的具体情况进行调整。确保使用正确的Lambda函数ARN、证书ARN和其他相关参数。