要更新ASP.NET Core Web API的NuGet包，可以按照以下步骤进行操作：

1. 打开项目所在的解决方案。
2. 在Visual Studio的“解决方案资源管理器”中，右键单击项目，并选择“管理NuGet程序包”选项。
3. 在NuGet程序包管理器中，选择“已安装”选项卡，并找到要更新的包。
4. 右键单击要更新的包，并选择“更新”选项。
5. 在弹出的对话框中，选择要更新到的版本，并点击“确定”按钮。
6. NuGet程序包管理器会下载并安装最新版本的包。

以下是一个示例代码，演示如何在ASP.NET Core Web API项目中更新Newtonsoft.Json包：

1. 打开项目所在的解决方案。
2. 在Visual Studio的“解决方案资源管理器”中，右键单击项目，并选择“管理NuGet程序包”选项。
3. 在NuGet程序包管理器中，选择“已安装”选项卡，并找到Newtonsoft.Json包。
4. 右键单击Newtonsoft.Json包，并选择“更新”选项。
5. 在弹出的对话框中，选择要更新到的版本（例如11.0.2），并点击“确定”按钮。
6. NuGet程序包管理器会下载并安装最新版本的Newtonsoft.Json包。

更新后，您可以在项目中使用最新版本的包。例如，在ASP.NET Core Web API的Startup.cs文件中，您可以添加以下代码来使用更新后的Newtonsoft.Json包：

using Newtonsoft.Json;

// ...

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    // ...

    // 使用更新后的Newtonsoft.Json包
    services.AddControllers().AddNewtonsoftJson(options =>
    {
        options.SerializerSettings.ReferenceLoopHandling = ReferenceLoopHandling.Ignore;
    });

    // ...
}

以上代码中，我们通过调用AddNewtonsoftJson方法来注册更新后的Newtonsoft.Json包，并设置了一些序列化选项。

希望以上解决方案能对您有帮助！