在ASP.NET Core中处理并发的Web API请求并管理状态可以使用以下方法：

1. 使用锁机制： 在处理需要同步访问的代码段时，可以使用C#中的锁机制。创建一个对象用作锁对象，然后在需要同步访问的代码段中使用lock语句。这将确保每次只有一个线程可以进入该代码段并执行操作，从而避免并发冲突。

private static object lockObject = new object();

public IActionResult ProcessRequest()
{
    lock(lockObject)
    {
        // 处理请求的代码，比如修改状态
    }
    return Ok();
}

2. 使用并发集合： ASP.NET Core提供了线程安全的并发集合类，如ConcurrentDictionary和ConcurrentQueue。这些集合类可以在多个线程访问时保持状态的一致性。

private ConcurrentDictionary state = new ConcurrentDictionary();

public IActionResult ProcessRequest()
{
    // 使用ConcurrentDictionary来管理状态
    state.TryAdd("key", "value");

    // 处理请求的代码

    // 更新状态
    object value;
    state.TryGetValue("key", out value);
    // 修改value的值

    return Ok();
}

3. 使用分布式缓存： 如果应用程序在多个实例之间运行，可以使用分布式缓存来管理状态。ASP.NET Core提供了内置的分布式缓存支持，如Redis、SQL Server等。

public IActionResult ProcessRequest([FromServices] IDistributedCache cache)
{
    // 从缓存中获取状态
    string value = cache.GetString("key");

    // 处理请求的代码

    // 更新状态
    cache.SetString("key", "value");

    return Ok();
}

以上是几种常见的处理并发的Web API请求和管理状态的方法。根据应用程序的特定需求和场景，选择适合的方法来处理并发和状态管理。